Jednym z pierwszych fraktali, które pojawiły się w rozważaniach matematycznych przed wprowadzeniem tego pojęcia był dywan Sierpińskiego (ok. 1920). Powstaje on w nieskończonym procesie kolejnych podziałów kwadratu na coraz to mniejsze i usuwania wybranych kwadratów. Innym przykładem dawno znanego fraktala (1904) jest śnieżynka Kocha: do boków trójkąta dokleja się 3 trójkąty mniejsze.

Dokładniej, fraktalem nazwiemy zbiór, który posiada wszystkie te charakterystyki albo przynajmniej ich większość (zob. Falconer (1997)). Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samo-podobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal.

Fraktale wymyślili matematycy na początku XX-wieku. Te dziwne i ciekawe zarazem zbiory dały początek nowej geometrii zwanej geometrią fraktalną, która pozwala modelować wiele obiektów i zjawisk występujących w przyrodzie i nie tylko… Za jedną z cech charakterystycznych fraktala uważa się samopodobieństwo, to znaczy podobieństwo fraktala do jego części.

W matematycznej definicji fraktala korzysta się z pojęcia niecałkowitego wymiaru, do którego można dojść w następujący sposób. Wzory na pole koła S = πr2 i objętość kuli S = 4πr3/3 uogólnia się na dowolne wymiary d (też niecałkowite): S = [(Γ(1/2))d/Γ(1+d/2)]rd, gdzie funkcja Γ jest pewnym uogólnieniem pojęcia silni (funkcje Eulera (2)). Twierdzenie Besicovitcha mówi, że dla wszystkich d mniejszych od pewnego D ta suma jest nieskończona, a powyżej tego D jest zerem. Liczba D jest wymiarem Hausdorffa–Besicovitcha krzywej C. Jest on zawsze większy niż „zwykły” wymiar figury. Śnieżynka Kocha ma np. wymiar ln 4/ln 3 = 1,261 859 507…

Istotą fraktalu jest tzw. samopodobieństwo. Posiada dojrzałą strukturę, nie przystaje do geometrycznego opisu poprzez swoją skomplikowaną budowę. Jego ideologię tworzy samopodobieństwo czyli homogeniczność. Podczas kiedy społeczeństwo jest różne od siebie samego, czyli składa się z wielu podgrup nadal zachowując strukturę całościową, fraktal jest jednostkowy i podobny do siebie samego czyli złożony ze swoich zwieloktotnień bądź miniatur.